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La duration de Macaulay donne une mesure du risque d'une obligation. C’est la durée de vie moyenne pondérée par les flux de capitaux, exprimée en nombre d'années.
Le résultat de ce calcul peut être interprété de deux manières :
La duration de Macaulay donne la longévité effective de l'obligation, c'est-à-dire la période pendant laquelle il faut détenir le titre afin de récupérer le montant investi. Un investisseur soucieux de récupérer son investissement préférera investir dans un titre qui a une longévité effective aussi réduite que possible, c'est-à-dire une obligation dont la duration est faible.
La duration de Macaulay est la dérivée première de la fonction entre le prix et le rendement en un certain point (la pente de la tangente). Si la duration est un concept essentiel pour les professionnels, c'est parce qu'elle permet de déterminer la variation du prix d'une obligation pour de faibles variations de rendement. C'est-à-dire qu'on fait une approximation de la fonction par la pente de la tangente de cette dernière. L’obligation dont la duration est la plus forte aura une variation de prix plus importante et de ce fait sera la plus risquée.
Bien que la formule pour calculer la duration de Macaulay donne un nombre positif, il faut toujours garder à l’esprit la relation inverse entre le prix et le rendement.y
Variation en pourcent du prix = (- duration) x (variation du rendement en pourcent)
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La courbe P(r) représente l'évolution du prix de l'obligation en fonction de l'évolution des taux d'intérêts. Cette relation n’est pas linéaire mais convexe. |
La limite de l'utilisation de la duration vient de l'outil mathématique utilisé. En effet, l’utilisation de la duration tend à surestimer cette variation en cas de hausse des taux d’intérêts et à la sous-estimer en cas de baisse. Ce phénomène est dû au fait que le prix d'une obligation est une fonction décroissante et convexe par rapport au taux et non pas une fonction linéaire comme on le suppose si on utilise la duration. Par conséquent, les résultats ne sont valables que pour de faibles variations des taux d’intérêts. Dès lors, on ne saurait conseiller d'utiliser ce concept pour de brusques mouvements de taux.
Duration et durée de vie
Si l'on se réfère à la longévité effective, intuitivement on comprend que la duration ne peut pas être supérieure à la durée de vie de l'obligation, et dès qu'il y a paiement d'un coupon, la duration sera inférieure à la maturité. Seules les obligations zéro-coupon ont une duration égale à la maturité. On comprend aussi que toutes choses restant égales par ailleurs, une obligation avec une maturité plus lointaine aura une duration plus élevée.
Duration et coupon
Plus les coupons sont élevés, plus la duration sera faible. Il est facile de comprendre cette relation inverse entre le niveau du coupon et la duration si l'on se réfère à la longévité effective. En effet, si le coupon est élevé, l'investisseur récupérera plus rapidement son investissement.
Duration et niveau des taux d’intérêts
On sait que la valeur présente d'un paiement à recevoir est d'autant plus élevée que les taux sont bas. Dès lors si l'on se réfère à la longévité effective, l’investisseur devra attendre moins de temps pour récupérer sa mise initiale s’il actualise ses flux de capitaux avec un rendement élevé. Par conséquent, une diminution des taux d’intérêts augmente la duration.
Exemple : Quel sera le prix de l’obligation ci-dessous, si les taux varient de + ou - 10 bps ?
Une variation de rendement égale à +1% entraînera une variation de prix de –17.027%.
Une variation de rendement égale à +0.10% entraînera une variation de prix de -1.7027%.
Rdt = 3.76% => Prix estimé = (119.93 – 1.7027%(119.93)) = 121.96% contre 121.93% en réalité.
Rdt = 3.96% => Prix estimé = (119.93 + 1.7027%(119.93)) = 117.88% contre 117.95% en réalité.
La duration modifiée est très proche de la duration de Macaulay, elle donne également une estimation de l’ampleur de la variation du prix pour une variation donnée du rendement.
Le résultat obtenu n’est pas une durée en année, mais un pourcentage.
En gardant à l’esprit que la relation entre le prix et le rendement est négative et que par conséquent un chiffre plus faible indique une pente plus plate, l’utilisation de la duration modifiée permet de mieux tenir compte du caractère convexe de la relation entre le prix et le rendement lorsque les taux sont à la hausse.
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Dans la mesure où le rendement est un nombre positif, la duration modifiée est toujours inférieure à la duration de Macaulay. |
En cas de hausse des taux d’intérêts, la variation du prix calculé avec la duration modifiée est plus proche de la réalité. Par rapport à la duration de Macaulay, le prix estimé réduit la sur-estimation de la perte.
Exemple : Quel sera le prix de l’obligation ci-dessous, si les taux varient de + ou – 10 bps ?
Modified duration (P = 119.93%) = 17.027 / (1 + 0.0386) = 16.394
Rdt = 3.76% =>
Prix estimé = (119.93 - 1.6394%(119.93)) = 121.88%
contre 121.96% estimé avec la duration de Macaulay et 121.93% en réalité.
Rdt = 3.96% =>
Prix estimé = (119.93 + 1.6394%(119.93)) = 117.95%
contre 117.88% estimé avec la duration de Macaulay et 117.95% en réalité.