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MACAULAY DURATION

Die Macaulay Duration ergibt eine Risikobemessung einer Obligation. Es ist dies die in Jahren ausgedrückte, durch die Kapitalflüsse gewichtete durchschnittliche Lebensdauer.

Cpn: Betrag des bezahlten Coupons
Rbt: Rückzahlungswert
YTM: Rendite auf Verfall
Freq: Anzahl der jährlich ausgeschütteten Coupons
N: Gesamtzahl der zu erhaltenden Coupons
a: Jahresabschnitt während dessen der aktuelle Coupon gelaufen ist

Das Ergebnis dieser Berechnung kann auf zwei Arten interpretiert werden :

Effektive Lebensdauer
Die Macaulay Duration ergibt die effektive Lebensdauer einer Obligation, das heisst die Zeitspanne, während welcher man den Titel behalten muss, um den investierten Betrag zurückzuerhalten. Ein Anleger, der seine Investition zurückbekommen möchte, wird es vorziehen, in ein Wertpapier zu investieren, dessen effektive Lebensdauer so kurz wie möglich ist, also in eine Obligation mit einer schwachen Duration.

Annähernde Schätzung der Empfindlichkeit des Preises einer Zinssatzveränderung gegenüber
Die Macaulay Duration ist der primäre Differenzialquotient der Gleichung zwischen Preis und Rendite an einem bestimmten Punkt (die Neigung der Tangente). Die Duration ist ein wesentlicher Begriff für Experten weil sie es ermöglicht, die Preisvariation einer Obligation bei schwachen Renditevariationen zu bestimmen. Das bedeutet, dass man eine annähernde Schätzung der Funktion durch die Neigung der Tangente anstellt. Die Obligation mit der stärksten Duration wird die bedeutendste Preisvariation aufweisen und wird d aher die riskanteste sein.

Obwohl die Formel zur Berechnung der Macaulay Duration eine positive Zahl ergibt, darf man die umgekehrte Beziehung zwischen Preis und Rendite nicht ausser Acht lassen.

Variation in Prozenten des Preises ausgedrückt = (- Duration) x (Prozentuelle Variation der Rendite)

Die P(r) Kurve zeigt die Preisentwicklung der Obligation im Verhältnis zur Zinssatzentwicklung. Diese Beziehung ist nicht linear, sondern konvex.

Es besteht die Tendenz, bei Verwendung der Duration diese Variation im Falle der Zinssatzerhöhung über zu bewerten bzw. im Falle des Fallens unter zu bewerten. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass der Preis einer Obligation eine sinkende und konvexe Funktion im Verhältnis zum Zinssatz und nicht eine lineare Funktion ist, wie man dies bei Verwendung der Duration annimmt. Daher sind die Ergebnisse nur bei sehr schwachen Variationen der Zinssätze richtig. Dementsprechend kann dieses Konzept bei plötzlichen Zinssatzbewegungen nicht empfohlen werden.

Eigenschaften der Duration

Duration und Lebensdauer
Wenn man sich auf die effektive Lebensdauer bezieht, versteht man intuitiv, dass die Duration nicht höher als die Lebensdauer der Obligation sein kann. Sobald ein Coupon ausbezahlt wird, wird die Duration kürzer als die Fälligkeit sein. Nur Obligationen mit Zero-Coupons haben eine der Fälligkeit gleichwertige Duration. Man versteht ferner dass, wenn alles andere gleich bleibt, eine Obligation mit einer längeren Fälligkeit eine höhere Duration haben wird.

Duration und Coupon
Je höher die Coupons sind, desto niedriger ist die Duration. Es ist einfach, das umgekehrte Verhältnis zwischen dem Coupon-Niveau und der Duration zu verstehen, wenn man sich auf die effektive Lebensdauer bezieht. Wenn der Coupon hoch ist, wird der Anleger seine Anlage rascher zurückerhalten.

Duration und Zinssatzniveau
Es ist bekannt, dass der gegenwärtige Wert einer zukünftigen Zahlung umso höher ist, als die Zinssätze niedrig sind. Wenn man sich daher auf die effektive Lebensdauer bezieht, braucht der Anleger weniger lange zu warten, um seinen ursprünglichen Einsatz zurückzuerhalten, wenn er seine Kapitalflüsse mit einer hohen Rendite aktualisiert. Dementsprechend erhöht sich die Duration durch ein Absinken der Zinssätze.

Beispiel : Wie hoch wird der Preis der obigen Obligation sein, wenn die Zinssätze um + oder – 10 bps variieren ?

Eine Variation der Rendite von +1% führt zu einer Preisvariation von –17.027%.
Eine Variation der Rendite von +0.10% führt zu einer Preisvariation -1.7027%.
Rdt = 3.76% => geschätzter Preis = (119.93 – 1.7027%(119.93)) = 121.96% gegenüber tatsächlichen 121.93%
Rdt = 3.96% => geschätzter Preis = (119.93 + 1.7027%(119.93)) = 117.88% gegenüber tatsächlichen 117.95%

MODIFIED DURATION – MODIFIZIERTE DURATION

Die modifizierte Duration ist der Macaulay Duration sehr ähnlich. Sie ergibt ebenfalls eine Bewertung des Ausmasses von Preisvariationen bei einer gegebenen Renditenvariation .

Das Ergebnis ist nicht eine in Jahren ausgedrückte Zeitspanne, sondern ein Prozentsatz.

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass das Verhältnis zwischen Preis und Rendite negativ ist und dass daher eine niedrigere Zahl eine flachere Neigung darstellt, ermöglicht die Verwendung der modifizierten Duration eine bessere Berücksichtigung der Konvexität des Verhältnisses zwischen Preis und Rendite, wenn die Zinssätze steigen.

Sofern die Rendite eine positive Zahl aufweist, ist die modifizierte Duration stets niedriger als die Macaulay Duration.

Im Falle steigender Zinssätze ist die an Hand der modifizierten Duration berechnete Preisvariation der Wirklichkeit näher. Im Vergleich zur Macaulay Duration verringert der geschätzte Preis die Überbewertung des Verlusts.

Beispiel : Wie hoch wird der Preis der obigen Obligation sein, wenn die Zinssätze um + oder – 10 bps variieren?

Modizierte Duration (P = 119.93%) = 17.027 / (1 + 0.0386) = 16.394

Rdt = 3.76% => geschätzter Preis = (119.93 – 1.6394%(119.93)) = 121.88%
gegenüber den mit der Macaulay Duration geschätzten 121.96% und den tatsächlichen 121.93%

Rdt = 3.96% => geschätzter Preis = (119.93 + 1.6394%(119.93)) = 117.95%
gegenüber den mit der Macaulay Duration geschätzten 117.88% und den tatsächlichen 117.95%.

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